Zauważ, że aksjomaty teorii użyteczności są tak naprawdę aksjomatami dotyczącymi preferencji — nie mówią nic o funkcji użyteczności. Ale w rzeczywistości z aksjomatów użyteczności możemy wyprowadzić następujące konsekwencje:
- Istnienie funkcji użyteczności: Jeśli preferencje agenta są zgodne z aksjomatami użyteczności, to istnieje funkcja U taka, że U(A) >U(B) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest preferowane w stosunku do B, a U(A) =U (B) wtedy i tylko wtedy, gdy agent jest obojętny na A i B. To znaczy,
U(A) >U(B) ⇔ A ≻ B i U(A) =U(B) ⇔ A ∼ B:
- Oczekiwana użyteczność loterii: użyteczność loterii to suma prawdopodobieństwa każdego wyniku pomnożona przez użyteczność tego wyniku.
Innymi słowy, po określeniu prawdopodobieństw i użyteczności możliwych stanów wyniku, użyteczność loterii złożonej obejmującej te stany jest całkowicie określona. Ponieważ wynikiem działania niedeterministycznego jest loteria, wynika z tego, że podmiot może działać racjonalnie – to znaczy zgodnie ze swoimi preferencjami – tylko wybierając działanie, które maksymalizuje oczekiwaną użyteczność. Powyższe twierdzenia ustalają, że (przy założeniu ograniczeń racjonalnych preferencji) funkcja użyteczności istnieje dla każdego racjonalnego podmiotu. Twierdzenia nie ustalają, że funkcja użyteczności jest unikalna. W rzeczywistości łatwo zauważyć, że zachowanie agenta nie zmieniłoby się, gdyby jego funkcja użyteczności U(S) została przekształcona zgodnie z
U’(S) = aU(S)+b;
gdzie a i b są stałymi, a a > 0; pozytywna transformacja afiniczna. Fakt ten został odnotowany w rozdziale 6 (str. 213) dotyczącym dwuosobowych gier losowych; tutaj widzimy, że dotyczy to wszelkiego rodzaju scenariuszy decyzyjnych. Podobnie jak w grach, w deterministycznym środowisku agent potrzebuje tylko rankingu preferencji w stanach – liczby nie mają znaczenia. Nazywa się to funkcją wartości lub funkcją użyteczności porządkowej.
Należy pamiętać, że istnienie funkcji użyteczności, która opisuje zachowanie preferencyjne podmiotu niekoniecznie oznacza, że podmiot wyraźnie maksymalizuje tę funkcję użyteczności w swoich własnych rozważaniach. Jak pokazaliśmy w rozdziale 2, racjonalne zachowanie można generować na wiele sposobów. Agent racjonalny może być zaimplementowany z wyszukiwaniem w tabeli (jeśli liczba możliwych stanów jest wystarczająco mała). Obserwując zachowanie racjonalnego agenta, obserwator może dowiedzieć się o funkcji użyteczności, która reprezentuje to, co agent faktycznie próbuje osiągnąć (nawet jeśli agent o tym nie wie).