Ogólny przypadek

Powyższe wyprowadzenie ilustruje kluczową właściwość rozkładów Gaussa, która umożliwia działanie filtrowania Kalmana: fakt, że wykładnik jest formą kwadratową. Dotyczy to nie tylko przypadku jednowymiarowego; pełny wielowymiarowy rozkład Gaussa ma postać

Mnożąc wyrazy w wykładniku, widzimy, że wykładnik jest również funkcją kwadratową wartości xi w x. W ten sposób filtrowanie zachowuje gaussowski charakter rozkładu stanu. Najpierw zdefiniujmy ogólny model czasowy używany z filtrowaniem Kalmana. Zarówno model przejściowy, jak i model czujnika muszą być transformacją liniową z dodatkiem szumu Gaussa. Tak więc mamy

gdzie F i Σ_x są macierzami opisującymi model przejścia liniowego i kowariancją szumu przejścia, a H i Σ_z są odpowiednimi macierzami dla modelu czujnika. Teraz zaktualizowane równania dla średniej i kowariancji, w ich pełnej, włochatej okropności, to

gdzie

jest macierzą wzmocnienia Kalmana. Niezależnie od tego, czy wierzysz czy nie , równania te mają jakiś intuicyjny sens. Rozważmy na przykład aktualizację oszacowania średniego stanu μ. Termin Fμ_t jest przewidywanym stanem w t +1, więc HFμ_t jest przewidywaną obserwacją. Dlatego termin z_t+1 – HFμ_t reprezentuje błąd w przewidywanej obserwacji. Jest to mnożone przez K_t+1 w celu skorygowania przewidywanego stanu; stąd K_t+1 jest miarą tego, jak poważnie należy traktować nową obserwację w stosunku do przewidywania. Podobnie jak w równaniu , mamy również własność, że aktualizacja wariancji jest niezależna od obserwacji. Sekwencję wartości Σ_t i K_t można zatem obliczyć w trybie offline, a rzeczywiste obliczenia wymagane podczas śledzenia w trybie online są dość skromne. Aby zilustrować działanie tych równań, zastosowaliśmy je do problemu śledzenia obiektu poruszającego się na płaszczyźnie X–Y. Zmienne stanu to więc F, Σ_x, H i Σ_z to macierze  4 x 4. Rysunek (a) pokazuje prawdziwą trajektorię, serię zaszumionych obserwacji i trajektorię oszacowaną przez filtrowanie Kalmana, wraz z kowariancjami wskazanymi przez kontury z jednym odchyleniem standardowym. Proces filtrowania dobrze sprawdza się w śledzeniu rzeczywistego ruchu i zgodnie z oczekiwaniami wariancja szybko osiąga ustalony punkt. Możemy również wyprowadzić równania do wygładzania i filtrowania za pomocą modeli liniowo-gaussowskich. Wyniki wygładzania pokazano na rysunku (b). Zwróć uwagę, jak wariancja oszacowania pozycji jest znacznie zmniejszona, z wyjątkiem końców trajektorii (dlaczego?) i że oszacowana trajektoria jest znacznie gładsza.