Zrobiliśmy aluzję do kluczowej właściwości rodziny rozkładów liniowo-gaussowskich: pozostaje ona zamknięta podczas aktualizacji bayesowskiej. (Oznacza to, że biorąc pod uwagę jakiekolwiek dowody, a posteriori nadal znajduje się w rodzinie liniowo-gaussowskiej). Tutaj precyzujemy to twierdzenie w kontekście filtrowania w modelu prawdopodobieństwa czasowego. Wymagane właściwości odpowiadają dwuetapowemu obliczeniu filtrowania w równaniu:
- Jeżeli obecny rozkład P(Xt |e1:t) jest gaussowski, a model przejściowy P(Xt+1 | xt) jest liniowo-gaussowski, to jednoetapowy rozkład przewidziany wyrażony przez
jest również rozkładem Gaussa.
2. Jeżeli przewidywanie P(Xt+1 |e1:t) jest gaussowskie, a model czujnika P(et+1 | Xt+1) jest liniowo-gaussowski, to po uwarunkowaniu nowym dowodem zaktualizowany rozkład
jest również rozkładem Gaussa.
Zatem operator FORWARD dla filtrowania Kalmana przyjmuje gaussowską wiadomość przekazującą f1:t, określoną przez średnią μt i kowariancję Σt , i tworzy nową wielowymiarową przekazową wiadomość gaussowską f1:t+1, określoną przez średnią μt+1 i kowariancję Σt+1. Jeśli więc zaczniemy od gaussowskiego poprzedzającego f1:0=P(X0)= (μ0;Σ0), filtrowanie za pomocą modelu liniowo-gaussowskiego daje rozkład stanu Gaussa przez cały czas. To wydaje się być ładnym, eleganckim wynikiem, ale dlaczego jest to takie ważne? Powodem jest to, że poza kilkoma szczególnymi przypadkami, takimi jak ten, filtrowanie za pomocą sieci ciągłych lub hybrydowych (dyskretnych i ciągłych) generuje rozkłady stanów, których reprezentacja rośnie bez ograniczeń w czasie.