Przejdźmy teraz do składni logiki pierwszego rzędu. Niecierpliwy czytelnik może uzyskać pełny opis z gramatyki formalnej na rysunku
Podstawowymi elementami składniowymi logiki pierwszego rzędu są symbole reprezentujące obiekty, relacje i funkcje. Symbole występują zatem w trzech rodzajach: symbole stałe, które oznaczają przedmioty; symbole predykatów, które oznaczają relacje; i symbole funkcyjne, które oznaczają funkcje. Przyjmujemy konwencję, że te symbole zaczynają się od wielkich liter. Na przykład możemy użyć stałych symboli Richard i John; symbole predykatu Brother, OnHead, Person, King i Crown; oraz symbol funkcji LewaNoga. Podobnie jak w przypadku symboli propozycji, wybór nazw zależy wyłącznie od użytkownika. Każdy predykat i symbol funkcji ma arity, która ustala liczbę argumentów. Każdy model musi dostarczyć informacji wymaganych do ustalenia, czy dane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Tak więc, oprócz swoich obiektów, relacji i funkcji, każdy model zawiera interpretację, która dokładnie określa, do których obiektów, relacji i funkcji odnoszą się symbole stałej, predykatu i funkcji. Jedna z możliwych interpretacji dla naszego przykładu – którą logik nazwałby interpretacją zamierzoną – jest następująca:
* Ryszard odnosi się do Ryszarda Lwie Serce, a Jan do złego króla Jana.
* Brat odnosi się do relacji braterskiej – czyli zbioru krotek obiektów; OnHead to relacja, która utrzymuje się między koroną a królem Janem; Osoba, Król i Korona to relacje jednoargumentowe, które identyfikują osoby, królów i korony.
* LeftLeg odnosi się do funkcji „lewej nogi” zdefiniowanej w równaniu.
Oczywiście istnieje wiele innych możliwych interpretacji. Na przykład jedna z interpretacji odwzorowuje Ryszarda na koronę, a Jana na lewą nogę króla Jana. W modelu jest pięć obiektów, więc istnieje 25 możliwych interpretacji tylko dla stałych symboli Richard i John. Zauważ, że nie wszystkie obiekty muszą mieć nazwę – na przykład zamierzona interpretacja nie nazywa korony ani nóg. Możliwe jest również, że obiekt ma kilka nazw; istnieje interpretacja, w której zarówno Ryszard, jak i Jan odnoszą się do korony. Jeśli uważasz, że ta możliwość jest myląca, pamiętaj, że w logice zdań całkiem możliwe jest posiadanie modelu, w którym zarówno Cloudy, jak i Sunny są prawdziwe; zadaniem bazy wiedzy jest wykluczenie modeli, które są niezgodne z naszą wiedzą. Podsumowując, model w logice pierwszego rzędu składa się ze zbioru obiektów i interpretacji, która odwzorowuje stałe symbole na obiekty, symbole funkcyjne na funkcje na tych obiektach i symbole predykatów na relacje. Podobnie jak w przypadku logiki zdań, implikacja, słuszność itd. są definiowane w kategoriach wszystkich możliwych modeli. Aby zorientować się, jak wygląda zestaw wszystkich możliwych modeli, zobacz Rysunek. Pokazuje, że modele różnią się liczbą obiektów, które zawierają – od jednego do nieskończoności – oraz sposobem, w jaki symbole stałe mapują się na obiekty.
Ponieważ liczba modeli pierwszego rzędu jest nieograniczona, nie możemy sprawdzić implikacji przez wyliczenie ich wszystkich (tak jak zrobiliśmy to w przypadku logiki zdań). Nawet jeśli liczba obiektów jest ograniczona, liczba kombinacji może być bardzo duża. W przykładzie na rysunku 8.4 istnieje 137 506 194 466 modeli z sześcioma lub mniej obiektami.