Po określeniu składni logiki zdań określamy teraz jej semantykę. Semantyka określa zasady ustalania prawdziwości zdania w odniesieniu do określonego modelu. W logice zdań model po prostu ustala wartość prawdy – prawdę lub fałsz – dla każdego symbolu zdania. Na przykład, jeśli zdania w bazie wiedzy wykorzystują symbole zdań P1,2, P2,2 i P3,1 , to jednym z możliwych modeli jest
Z trzema symbolami propozycji, istnieje 23 = 8 możliwych modeli – dokładnie tych przedstawionych na rysunku . Zauważ jednak, że modele są obiektami czysto matematycznymi, bez konieczności połączenia ze światami wumpusa P1,2. jest tylko symbolem; może to oznaczać „jest dół w [1,2]” lub „Jestem w Paryżu dzisiaj i jutro”. Semantyka logiki zdań musi określać, jak obliczyć wartość logiczną dowolnego zdania przy danym modelu. Odbywa się to rekurencyjnie. Wszystkie zdania są zbudowane ze zdań atomowych i pięciu spójników; dlatego musimy określić, jak obliczyć prawdziwość zdań atomowych i jak obliczyć prawdziwość zdań utworzonych z każdym z pięciu spójników. Zdania atomowe są łatwe:
- Prawda jest prawdą w każdym modelu, a fałsz jest fałszem w każdym modelu.
- Wartość logiczną każdego innego symbolu zdaniowego należy podać bezpośrednio w modelu. Na przykład w podanym wcześniej modelu m1 P1,2 jest fałszywe.
Dla zdań złożonych mamy pięć reguł, które obowiązują dla dowolnych podzdań P i Q (atomowych lub złożonych) w dowolnym modelu m (tu „iff” oznacza „jeśli i tylko wtedy”):
- ¬P jest prawdziwe jeśli jest fałszywe w m .
- P Λ Q jest prawdziwe w przypadku obu P i Q są prawdziwe w m .
- P V Q jest prawdziwe, jeśli albo P jest prawdziwe, albo jest prawdziwe w m .
- P ⇒ Q jest prawdziwe, chyba że P jest prawdziwe a Q fałszywe w m .
- P ⇔ Q jest prawdziwe jeśli P i Q i obie są prawdziwe lub obie fałszywe w m .
Reguły mogą być również wyrażone za pomocą tablic prawdy, które określają wartość logiczną zdania złożonego dla każdego możliwego przypisania wartości logicznych do jego składników. Tabele prawdy dla pięciu spójników przedstawiono poniżej
Z tych tabel można obliczyć wartość logiczną dowolnego zdania s w odniesieniu do dowolnego modelu m za pomocą prostej oceny rekurencyjnej. Na przykład zdanie ¬P1,2 Λ (P2,2 V P3,1) , oceniane w m1 , daje true Λ (false V true) = true Λ true = true.
Tabele prawdy dla „i”, „lub” i „nie” są zgodne z naszymi intuicjami dotyczącymi angielskich słów. Głównym punktem możliwego zamieszania jest to, że P V Q jest prawdziwe, gdy P jest prawdziwe, Q jest prawdziwe lub oba. Inny spójnik, zwany „wyłącznym lub” (w skrócie „xor”), daje fałsz, gdy oba rozłączniki są prawdziwe. Nie ma zgody co do symbolu wyłączności lub; niektóre opcje to V lub ≠ lub ⊕ .
Tabela prawdy dla ⇒ może nie do końca pasować do intuicyjnego rozumienia „P implikuje Q ” lub „P jeśli to Q”. Po pierwsze, logika zdań nie wymaga żadnego związku przyczynowego ani relewancji między P i Q. Zdanie „5 jest nieparzyste oznacza, że Tokio jest stolicą Japonii” jest prawdziwym zdaniem logiki zdań (przy normalnej interpretacji), mimo że jest to zdecydowanie dziwne zdanie. Innym powodem do nieporozumień jest to, że każda implikacja jest prawdziwa, gdy jej poprzednik jest fałszywy. Na przykład „5 oznacza nawet, że Sam jest mądry” jest prawdziwe, niezależnie od tego, czy Sam jest mądry. Wydaje się to dziwne, ale ma sens, jeśli pomyślisz, że „P ⇒ Q” mówi: „Jeśli P to prawda, to twierdzę, że Q to prawda; w przeciwnym razie nie wysuwam żadnych roszczeń”. Jedynym sposobem, aby to zdanie było fałszywe, jest stwierdzenie, czy P jest prawdziwe, ale Q jest fałszywe. Dwuwarunkowe, P ⇔ Q , jest prawdziwe, gdy oba P ⇒Q i Q ⇒ P są prawdziwe. W języku angielskim często zapisuje się to jako „ P wtedy i tylko wtedy, gdy Q ”. Wiele zasad świata wumpusa najlepiej pisze się przy użyciu ⇔ . Na przykład, pole jest przewiewne, jeśli sąsiednie pole ma zagłębienie, a pole jest przewiewne tylko wtedy, gdy sąsiednie pole ma zagłębienie. Więc potrzebujemy dwuwarunkowego,
gdzie B1,1 oznacza, że w [1,1] jest sprzeczność.