Załóżmy, że mamy pokolorować mapę Australii tylko dwoma kolorami, czerwonym i niebieskim. Spójność łuku nic nie daje, ponieważ każde ograniczenie może być indywidualnie spełnione przez kolor czerwony na jednym końcu i niebieski na drugim. Ale najwyraźniej nie ma rozwiązania problemu: ponieważ Australia Zachodnia, Terytorium Północne i Australia Południowa stykają się ze sobą, potrzebujemy co najmniej trzech kolorów dla nich samych. Spójność łuku zacieśnia domeny (ograniczenia jednoargumentowe) za pomocą łuków (ograniczenia binarne). Aby poczynić postępy w takich problemach, jak kolorowanie mapy, potrzebujemy silniejszego pojęcia spójności. Spójność ścieżki zaostrza ograniczenia binarne przy użyciu niejawnych ograniczeń, które są wywnioskowane na podstawie trójek zmiennych.
Zbiór dwóch zmiennych {xi,Xj} jest zgodny ze ścieżką względem trzeciej zmiennej Xm, jeśli dla każdego przypisania {Xi =a , Xj = b} jest zgodny z ograniczeniami (jeśli występują) na {Xi,Xj} , istnieje przypisanie do Xm, które spełnia ograniczenia :Xi,Xm}i {Xm,Xj}. Nazwa odnosi się do ogólnej spójności ścieżki od Xi do Xj z Xm pośrodku. Zobaczmy, jak spójność ścieżki wypada w kolorowaniu mapy Australii dwoma kolorami. Upewnimy się, że zbiór {WA,SA} będzie zgodny ze ścieżką względem NT . Zaczynamy od wyliczenia
spójne przyporządkowania do zestawu. W tym przypadku są tylko dwa: {WA = red , SA = blue} i {WA = blue , SA = red}. Widzimy, że przy obu tych przypisaniach NT nie może być ani czerwone, ani niebieskie (ponieważ kolidowałoby z WA lub SA ). Ponieważ nie ma poprawnego wyboru dla NT , eliminujemy oba przypisania i kończymy bez poprawnych przypisań dla {WA,SA} . Dlatego wiemy, że nie ma rozwiązania tego problemu.